第一課 大綱¶
甲 有理數
乙 無理數與實數
丙 乘法公式
丁 根式與分式運算
有理數¶
- 設$p$、$q$為整數，且$p\neq0$，可以表示成$\frac{q}{p}$的數
稠密姓¶
- 任意兩有理數相加、減、乘、除(0不能當除數)仍然是有理數
有限小數與循環小數¶
有限小數¶
- 化減至最簡分數時，若分母的質因數只有2或5，則為有限小數
循環小數¶
分數換成循環小數¶
- 直接分子除以分母
- 例：$1/7=0.142857142857… = 0.\overline{142857}$
分數換成循環小數¶
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方法 |
範例 |
| 小數點後都有循環 |
例：$0.\overline{123}$ |
循環裡有3位所以分母要有3個9分子部分為循環內數字 |
$\frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ |
| 小數點後前端數字不在循環內 |
例：$0.1\overline{23}$ |
循環裡有2位所以分母要有2個9，而有一個位數在循環外所以後面再補一個0，分子部分為循環內數字$-$循環外數字 |
$\frac{123 - 1}{99\color{red}0} = \frac{122}{99\color{red}0} = \frac{61}{495}$ |
無理數¶
- 設$p$、$q$為整數，且$p\neq0$，不能表示成$\frac{q}{p}$的數
比較大小¶
| $a + b$ |
無理數 |
| $a - b$ |
無理數 |
| $ab$ |
不一定，需判斷$a$是否為$0$，$a = 0$時$ab = 0$為有理數，其餘為無理數 |
| $\frac{a}{b}$ |
不一定，需判斷$a$是否為$0$，$a = 0$時$\frac{a}{b} = 0$為有理數，其餘為無理數 |
| $\frac{b}{a}$ |
不一定，需判斷$a$是否為$0$，$a = 0$時無意義 |
- 若$c$為無理數，$d$為無理數
| $c + d$ |
不一定，例：$c = \sqrt{2}, d = (-\sqrt{2})$ |
| $c - d$ |
不一定，例：$c = \sqrt{2}, d = (\sqrt{2} - 1)$ |
| $c \times d$ |
不一定，例：$c = \sqrt{2}, d = \sqrt{2}$ |
| $\frac{c}{d}$ |
不一定，例：$c = \sqrt{2}, d = \sqrt{2}$ |
稠密姓¶
| 交換律 |
$a + b = b + a$$a \times b = b \times a$ |
| 結合律 |
$(a + b) + c = a + (b + c)$$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ |
| 分配律 |
$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$ |
| 消去律 |
若$a + c = b + c$，則$a = b$若$a \times c = b \times c$，則$a = b$ |
| 遞移律 |
若$a = b$且$b = c$，則$a = c$ |
| 三一律 |
$a > b$，$a = b$，$a < b$洽有一個情形成立 |
| 遞移律 |
若$a > b$且$b > c$，則$a > c$ |
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若$a + c > b + c$，則$a > b$ |
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若$c > 0$且$a > b$，則$ac > bc$若$c < 0$且$a > b$，則$ac < bc$ |
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若$a ^ {2} \geq 0$恆成立 |
| 若$a$、$b$為有理數 |
則$a = 0$，$b = 0$ |
| 若$a$、$b$為實數 |
則$a$不一定$= 0$，$b$不一定$= 0$例：$a = -2$，$b = \sqrt{2}$ |
- 已知$a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2}$
| 若$a$、$b$、$c$、$d$為有理數 |
則$a = c$，$b = d$ |
| 若$a$、$b$、$c$、$d$為實數 |
則$a$不一定$= c$，$b$不一定$= d$例：$a = -2$，$b = \sqrt{2}$，$c = -4$，$d = 2\sqrt{2}$ |
乘法公式¶
平方公式¶
| 和的平方公式 |
$(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}$ |
| 差的平方公式 |
$(a - b) ^ {2} = a ^ {2} - 2ab + b ^ {2}$ |
| 平方差公式 |
$a ^ {2} - b ^ {2} = (a + b)(a - b)$ |
| 三數和的平方公式 |
$(a + b + c) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + 2ab + 2bc + 2ca$ |
立方公式¶
| 和的立方公式 |
$(a + b) ^ {3} = a ^ {3} + 3a ^ {2}b + 3ab ^ {2} + b ^ {3}$ |
| 差的立方公式 |
$(a - b) ^ {3} = a ^ {3} - 3a ^ {2}b + 3ab ^ {2} - b ^ {3}$ |
| 立方和公式 |
$a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b)(a ^ {2} - ab + b ^ {2})$ |
| $a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) ^ {3} - 3ab(a + b)$ |
| 立方差公式 |
$a ^ {3} - b ^ {3} = (a - b)(a ^ {2} + ab + b ^ {2})$ |
| $a ^ {3} - b ^ {3} = (a - b) ^ {3} + 3ab(a - b)$ |
- $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
化簡與有理化¶
- 通常會將平方根寫成$\frac{p\sqrt{n}}{q}$，其中$\frac{p}{q}$為最簡分數，$n$為大於1的整數，且不為完全平方數的倍數
- 例：$\sqrt{\frac{12}{25}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{2 ^ {2} \times 3}}{5} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$
- 分母有理化
- 分母只有一個根號：分母分子都乘以分母的數字
- 例：$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- 分母有兩個根號或一個根號與一個整數：分母分子都乘以分母的式子，但運算符號要相反
- 例：$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} {\color{red}-} \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} {\color{red}-} \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3}) ^ {2} - (\sqrt{2}) ^ {2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
雙重根式¶
- $\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
- 例：$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3 + 2) + 2\sqrt{3 \times 2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
- $\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
- 例：$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3 + 2) - 2\sqrt{3 \times 2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
算幾不等式¶
- 當$a$、$b$為非負的實數，則$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$