第五課 大綱
甲 直線的斜率
乙 直線方程式
丙 直線的平移
丁 直線的平行與垂直
戊 點到直線的距離
己 二元一次不等式
直線方程式
斜率
給兩點$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$
斜率$m = \frac{x_1 - x_2}{y_1 - y_2} = tan{\theta}$($\theta$為斜線與+X軸之夾角)
其中$|x_1 - x_2| \neq 0$
若為0則為鉛垂線，無斜率，方程式為$x = x_1$ or $x = x_2$
兩點斜截距+一
兩點式
- 給兩點求直線方程式 若給兩點$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 則直線方程式為$\frac{x - x_1}{y - y_1} = \frac{x_1 - x_2}{y_1 - y_2}$
點斜式
- 給一點和斜率求直線方程式
若給一點$P(x_0, y_0)$、與斜率$m$
可得方程式$y - y_0 = m(x - x_0)$
斜截式
- 給斜率和$y$截距求直線方程式 若給斜率$m$和$y$截距$b$ 可得方程式$y = mx + b$
截距式
- 給$x$截距和$y$截距求直線方程式 若給$x$截距$a$和$y$截距$b$ 可得方程式$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 (ab \neq 0)$
一般式
$ax + by + c = 0$
其中斜率$m = -\frac{a}{b}$
平移
點的平移
給一點$P(x, y)$
$x$座標位移$a$、$y$座標位移$b$
新的點為$P’(x + a, y + b)$
直線的平移
給一條線$\mathit{L} = ax + by + c = 0$
$x$座標位移$h$、$y$座標位移$k$
- 則新的方程式為$\mathit{L’}:a(x - h) + b(y - k) + c = 0$
乘開後得$\mathit{L’}:ax + by - ah - bk + c = 0$
平行與垂直
平行
已知$L_1$的斜率為$m_1$，$L_2$的斜率為$m_2$ 當$m_1 = m_2$時，$L_1 // L_2$
垂直
已知$L_1$的斜率為$m_1$，$L_2$的斜率為$m_2$ 當$m_1 \times m_2 = -1$時，$L_1 \perp L_2$
中點座標公式
給兩點$P(x_1,y_1)$與$Q(x_2,y_2)$ 則$\overline{PQ}$中點座標為$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$
與點和直線的距離
給一點$P(x_1, y_1)$和一方程式$ax + by + c = 0$
距離$d = \frac{|a{x_1} + b{y_1} + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
兩平行線的距離
給兩方程式$ax + by + {c_1} = 0$、$akx + bky + {c_2} = 0 (k \neq 0)$
距離$d = \frac{|c_1 - c_2 |}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
外心
- 三中垂線交點
- 到三點等距
- 求各兩點的中垂線交點
內心
- 三角角平分線交點
- 到三邊等距
- 若此三角形為三角形，用外心或重心的方式去找
重心
- 三中線交點
- 給三點$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$、$C(x_3, y_3)$
- 則重心座標為$\frac{A+B+C}{3}$
垂心
- 三高交點
- 求其中兩邊垂直線過第三點算兩種出來後解聯立
二元一次不等式
畫圖法
給$\mathit{L}:ax + by + c = 0$
- 判斷a
- a > 0
- 不等號為$\geq$，向右為正
- $\leq$則相反
- a < 0
- 不等號為$\geq$，向左為正
- $\leq$則相反
- a > 0
- 判斷b
- b > 0
- 不等號為$\geq$，向上為正
- $\leq$則相反
- b < 0
- 不等號為$\geq$，向下為正
- $\leq$則相反
- b > 0