第六課 大綱

甲 圓的標準式
乙 圓的一般式
丙 點與圓的關係

圓

標準式

圓心為$O(h, k)$，半徑為$r$
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

  • $r > 0$為一圓
  • $r = 0$為一點
  • $r < 0$圖形不存在

直徑式

給兩點$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$的連線為一圓直徑，求圓方程式
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2$

  • 其中，$(x_1, y_2)$與$(x_2, y_1)$也是該圓的直徑

參數式(補充)

$ \begin{cases} x = \sin{\theta} + \alpha \\ y = \cos{\theta} + \beta \end{cases} $

$ => (x - \alpha)^{2} + (y - \beta)^{2} = 1$

一般式

$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$

  • 不一定是圓
    • 必定$a = c, b = 0$
    • 變成標準式後$r^2$要$>0$

阿波羅圓

給$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，和一點$P(x, y)$
$\overline{PA} = k\overline{PB}$
當：

  • k < 0

    • 不存在

  • k = 0

    • 為$A$點

  • k = 1

    • 為$A$、$B$中垂線

  • 其他

    • 阿波羅圓

  • 阿波羅圓解法

    • 照做
      • $\sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = k\sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2}$
      • 平方後：
      • $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = k^2 \times [(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2]$
    • 內外分點解

莫爾圓

  • 定義：圓心在$x$軸上的圓

點與圓的關係

給一點$P(a, b)$和一圓$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

  • 點在圓內
    • $(a - h)^2 + (b - k)^2 < r^2$
  • 點在圓上
    • $(a - h)^2 + (b - k)^2 = r^2$
  • 點在圓外
    • $(a - h)^2 + (b - k)^2 > r^2$

求點到圓的距離之$max$、$min$

  • 先判斷點在圓內、上、外
  • $P$到圓心$O(h, k)$的距離$ = d$
    • 點在圓內
      • $max = r + d$
      • $min = r - d$
    • 點在圓上
      • $max = 2r$
      • $min = 0$
    • 點在圓外
      • $max = r + d$
      • $min = d - r$
  • 需注意題目所求為距離或距離平方

延伸：到圓距離為整數解有幾個

  • 若最大值和最小值為整數
    答案為$2(max - min)$

  • 若最大值和最小值不是整數
    答案為$2([max] - [min])$
    $[x]$為高斯符號(取$\leq x$的最大整數)

已知圓通過一點，同時與X軸和Y軸相切，求圓方程式

給一點$P(x_1, y_1)$
設圓心為$O(h, h)$
$(x_1 - h)^2 + (y_1 - h)^2 = h^2$
接著乘開後整理解方程式

已知圓通過兩點，且與X或Y軸相切，求圓方程式

給兩點$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$
設圓心為$O(0, h)$或$(h, 0)$

  • 到兩點距離相同：
    $\sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - h)^2} = \sqrt{(x_2 - 0)^2 + (y_2 - h)^2}$
    $=> {x_1}^2 + (y_1 - h)^2 = {x_2}^2 + (y_2 - h)^2$
    $or$
    $\sqrt{(x_1 - h)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{(x_2 - h)^2 + (y_2 - 0)^2}$
    $=> (x_1 - h)^2 + {y_1}^2 = (x_2 - h)^2 + {y_2}^2$
    接著乘開後整理解方程式

已知圓通過三點，求圓方程式

若三點共線則無法求圓
給兩點$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$、$C(x_3, y_3)$

  • 求外心 求各兩點的兩中垂線交點$P(a, b)$
    可列出圓方程式$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
    再帶入三點中任意點可求$r^2$

  • 若三點為直角三角形

    • 找出斜邊後中點及為圓心，斜邊長度的一半為半徑

橋梁、拱門問題

  • 座標化 將橋樑給的各點座標化，求出圓方程式後解問題

  • 畢氏定理 假定圓半徑為$r$，弦到圓心距離為$a$，弦中線到弦與圓交點的距離$b$
    可列出：$(r - a)^2 + b^2 = r^2$