第七課 大綱

甲 圓指直線關係的判定
乙 圓的的切線方程式

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圓與直線的關係

代數判定法

將直線帶入圓方程式，可解出一個一元二次方程式
此方程式的判別式$D = \sqrt{b^2 - 4ac}$

• $D > 0$
  • 交兩點
• $D = 0$
  • 交一點
• $D < 0$
  • 不相交

幾何判定法

透過點到直線公式，可解出一距離$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

• $d > 0$
  • 不相交
• $d = 0$
  • 交一點
• $d < 0$
  • 交兩點

統整

	相割	相切	相離
定義	交於兩點	交於一點	沒有交點
代數	有相異實根 ($b ^ {2} - 4ac > 0$)	有相等實根 ($b ^ {2} - 4ac = 0$)	沒有實根 ($b ^ {2} - 4ac < 0$)
幾何	$d < r$	$d = r$	$d > r$

切線方程式

公式解

$y - k = m(x - h) \pm \sqrt{1+m^2}$

已知切線斜率求切線方程式

• 法1
  $y - k = m(x - h) \pm \sqrt{1+m^2}$
  帶入$m$、圓心$(h, k)$之後可得兩線

• 法2 設直線方程式$mx - y + k = 0$，帶入$m$

過圓外一點求切線方程式

• 法1
  $y - k = m(x - h) \pm \sqrt{1+m^2}$
  帶入圓心$(h, k)$、點座標$(x, y)$之後可得兩$m$
  再用點斜式可求出兩方程

• 法2
  設直線方程式過點$P(x_1, y_1)$
  $y − y_1 = m(x − x_1) \\ => mx - y - mx_1 + y_1 = 0$
  將圓心帶入點到直線距離公式
  $\frac{|mh - k - mx_1 + y_1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = r$

  • 若求得兩$m，帶回$y − y_1 = m(x − x_1)$求解
  • 若求得一$m，帶回$y − y_1 = m(x − x_1)$求解之外，另一條為過$(x_1,y_1)$之鉛垂線
    • 通常是等號兩邊削去$m$

過圓上一點求切線方程式

• 法1
  $y - k = m(x - h) \pm \sqrt{1+m^2}$
  帶入圓心$(h, k)$、點座標$(x, y)$之後可得一$m$
  點斜式可求直線方程式

• 法2
  設直線方程式過點$P(x_1, y_1)$
  $y − y_1 = m(x − x_1) \\ => mx - y - mx_1 + y_1 = 0$
  將圓心帶入點到直線距離公式
  $\frac{|mh - k - mx_1 + y_1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = r$

  • 可求得一$m，帶回$y − y_1 = m(x − x_1)$求解
    • 通常是重根

• 法3 切一半
  圓方程式$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$
  可分為$(x - h)(x - h) + (y - k)(y - k) = r^2$
  將點座標$(x, y)$帶入其中一個$(x - h)$ 或是 $(y - k)$
  可得一直線方程式

應用

給一點P做圓切線交A、B兩點，求PAB外接圓

求P點跟圓O的中點做圓心，再拿P、O其中一個求圓半徑

一光線經過P點，經X/Y軸做反射切圓

要先判斷圓有沒有跟X/Y軸相割，如果有相割那求出來兩切線其中一條不可用
將P點對稱X/Y軸之後求切線方程式，然後判斷有兩條還是一條

一光線經過P點，求X/Y軸陰影長度

求兩切線之後，解出與X/Y軸的交點，兩交點相減加絕對值就是陰影長度