第九課 大綱

甲 函數的概念
乙 一次函數
丙 二次函數

函數定義

  • 對於每一個$x$，都恰有有一個$y$與之對應，則$y$為$x$的函數以$y=f(x)$
    • $x$稱為自變數
    • $y$稱為應變數
    • $f(a)$表示$x=a$所對應的含式
    • 所有點$(x, f(x))$所構成的圖形，稱為函數$f(x)$的圖形
  • 線型函數
常數函數 零函數 $y=f(x)=0$
零次函數 $y=f(x)=c, c\neq 0$
一次函數 $y=f(x)=ax+b, a\neq 0$

一次函數

$y = ax + b$

二次函數

$y = a(x - h)^2 + k$
$y = ax^2 + bx + c$
配方後：$y=a(x+\frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

  • 當$a > 0$
    • 開口向上，有最小值
  • 當$a < 0$
    • 開口向下，有最大值
  • 頂點：$(h, k)$
  • 平移
    • 水平移動$m$
      • $y = a(x - h - m)^2 + k$
    • 垂直移動$n$
      • $y = a(x - h)^2 + k + n$

判斷a, b, c正負

  • $a$

    • 看開口方向
      • 向上$a > 0$
      • 向下$a < 0$

  • $b$

    • 透過$\frac{b}{2a}$、$a$的正負決定

  • $c$

    • 當$x=0$時的$y$
    • 與$y$軸交點

  • $a + b + c = f(1)$

  • $a - b + c = f(-1)$

與x軸交點個數

$D = b^2 - 4ac$

  • $D > 0$ 兩交點
  • $D = 0$ 一交點
  • $D < 0$ 無交點