模反元素

Tue, 30 Sep 2025 00:00:00 +0000

又稱模倒數、模逆元，簡稱$MMI$或$inv$

如果$a$跟$n$互質

那一定有一個$b$，讓$(a \times b) \mod n = 1$
或$(a \times b - 1)$可以整除$n$

這時候$b$就是$a \mod n$的模反元素

而且$b + kn, k \in Z$
$b + kn$都是$a \mod n$的模反元素

用途

在求$a \div b \mod p$時，如果$a$、$b$太大無法直接相除

需要把$\div b$替換成$\times c$，並使$a \div b \equiv a \times c \pmod p$

這樣就可以拆成$(a \mod p) \times (c \mod p)$
而這個$c$就是模反元素

處理溢位時尤為好用

$3$、$11$互質
$inv = 4$
$3 \times 4 \mod 11 = 1$

所以根據定義：
$4 + 11k = 4, 15, 26 ...$
$3 \times 15 \mod 11 = 1$
$3 \times 26 \mod 11 = 1$
$...$
$3 \times (4 + 11k) \mod 11 = 1, k \in Z$