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O(n)預處理組合數

Thu, 23 Jul 2026 00:00:00 +0000

由於 $C^n_r$ 是階乘，直接硬算會算很久，因此預先處理來快速算出組合數尤為重要。
想法是利用模反元素，將除以 $k!$ 改成乘以 $k!$ 的模反元素。這個方法預處理的時間複雜度為 $O(N)$，之後就能用 $O(1)$ 查詢。
步驟：

先開一個陣列紀錄 $0! \sim n! \pmod M$ 的值
計算 $n! \pmod M$ 的模逆元，再開一個陣列紀錄 $k! \sim 0!$ 的模逆元。
只要先求出 $(k!)^{-1}$ ，就可以利用 $(k!)^{-1} = (k + 1)!^{-1} \times (k + 1) \pmod M$ 來由大到小得出所有階乘的模逆元。
查詢時，只要利用 $C^n_k = n! \times (k!)^{-1} \times ((n - k)!)^{-1} \pmod M$ 在 $O(1)$ 得出。

#define MOD 1000000007LL
#define MAXN 200005
#define ll long long

using namespace std;

ll qpow(ll a, ll b) {
 ll res = 1;
 a %= MOD;
 while (b > 0) {
 if (b & 1) {
 res = res * a % MOD;
 }
 a = a * a % MOD;
 b >>= 1;
 }
 return res;
}

ll inverse_mod(int a) {
 return qpow(a, MOD - 2);
}

ll fact[MAXN], inv_fact[MAXN];

void precompute_combination() {
 fact[0] = 1;
 inv_fact[0] = 1;

 for (int i = 1; i < MAXN; i++) {
 fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD;
 }

 inv_fact[MAXN - 1] = inverse_mod(fact[MAXN - 1]);
 for (int i = MAXN - 2; i >= 1; i--) {
 inv_fact[i] = inv_fact[i + 1] * (i + 1) % MOD;
 }
}

ll nCr(int n, int r) {
 if (r < 0 || r > n) return 0;
 return fact[n] * inv_fact[r] % MOD * inv_fact[n - r] % MOD;
}

Suffix Array

Thu, 23 Jul 2026 00:00:00 +0000

後綴是甚麼？

比方說字串 S = banana，S的所有後綴就是：

banana
anana
nana
ana
na
a

將這些後綴排序後：

a
ana
anana
banana
na
nana

Suffix Array就是將字串的每個後綴進行排序後，紀錄該後綴開頭index的陣列：

int SA[N];
SA[i]; // 表示順序第i個後綴的開頭index

如果 SA[3] = 0 ，表示字典序第 4 小的後綴是從 S[0] 開頭的，也就是 banana。

例題：算出 s = "aba" 的 SA 陣列

ans

SA[3] = {2, 0, 1};

怎麼找出 Suffix Array ？

暴力法就是把所有後綴抓出來，然後進行排序。顯然這個方法的時間複雜度是 $O(N^2\log N)$ (別忘了比較兩個字串要 $O(N)$)。

模反元素

Tue, 30 Sep 2025 00:00:00 +0000

又稱模倒數、模逆元，簡稱$MMI$或$inv$

如果$a$跟$n$互質

那一定有一個$b$，讓$(a \times b) \mod n = 1$
或$(a \times b - 1)$可以整除$n$

這時候$b$就是$a \mod n$的模反元素

而且$b + kn, k \in Z$
$b + kn$都是$a \mod n$的模反元素

用途

在求$a \div b \mod p$時，如果$a$、$b$太大無法直接相除

需要把$\div b$替換成$\times c$，並使$a \div b \equiv a \times c \pmod p$

這樣就可以拆成$(a \mod p) \times (c \mod p)$
而這個$c$就是模反元素

處理溢位時尤為好用

舉例

$3$、$11$互質
$inv = 4$
$3 \times 4 \mod 11 = 1$

所以根據定義：
$4 + 11k = 4, 15, 26 ...$
$3 \times 15 \mod 11 = 1$
$3 \times 26 \mod 11 = 1$
$...$
$3 \times (4 + 11k) \mod 11 = 1, k \in Z$